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  "transcript": "Passe eine Gerade an deine Daten an und finde dann heraus,\nob sie sich gut für Vorhersagen eignet.\nHurra!\nStack Quest.\nHallo, ich bin Josh Starmer und willkommen bei\nStat Quest.  Heute werden wir\nüber das Wesen der linearen Regression sprechen.\nDiese Statistik-Quest wird Ihnen präsentiert von den\nBuchstaben A, B und C. A ist immer neugierig.   Sei\nimmer neugierig.\nOh nein, ich hasse es, das zu tun, aber dieses Video\nbeginnt mit einer schamlosen\nEigenwerbung.   Wer\nStatistik beherrschen will, sollte sich\nden illustrierten Statistik-Leitfaden von Stat Quest ansehen\n.  Es sind über 300 Seiten voller\ngroßartiger Inhalte, inklusive praktischer\nTutorials in Python und R. Bam.   Stellen Sie sich\nnun vor, wir würden in der\nKonzernzentrale der Lebensmittelkette Spend and Save arbeiten\nund unser Chef würde uns fragen, ob wir\ndrei neue Filialen bauen sollten.  Zu allem Übel\nverlangte unser Chef auch noch von uns, unser\nVertrauen in die von uns getroffene Entscheidung zu quantifizieren.\nAnders ausgedrückt: Wenn wir uns für den Bau von drei\nneuen Filialen entscheiden, wie sicher können wir sein,\ndass wir eine gute Entscheidung getroffen haben?  Wenn\nwir sehr zuversichtlich sind, dann können wir jetzt mit dem\nBau beginnen.  Andernfalls sollten wir vielleicht\nwarten, bis wir sicherer sind,\ndass der Bau von drei neuen Filialen eine gute Idee ist\n.  Hey Josh, wie können wir diese\nEntscheidung treffen und unser Vertrauen darin quantifizieren\n?  Gute Frage, Squatch.  Eine Möglichkeit,\ndiese Entscheidung zu treffen und unser\nVertrauen in sie zu quantifizieren, besteht in der Anwendung der linearen\nRegression.   Um\nnun etwas über lineare Regression zu lernen\nund wie sie uns helfen kann,\nEntscheidungen zu treffen und unser Vertrauen in\ndiese zu quantifizieren, stellen wir uns vor, wir würden die\nAnzahl der Filialen von drei Unternehmen zählen und\nderen Umsatz berechnen.  Um\ndie einzelnen Datenpunkte besser beschreiben zu können\n, repräsentiert dieser Punkt ein Unternehmen, das sich im\nBesitz von Squatch befindet.\nDieser Punkt repräsentiert ein Unternehmen, das\nNorm gehört.\nUnd dieser Punkt repräsentiert ein Unternehmen, das\nunserem neuen Freund, dem Gamma-\nMonster, gehört, das sich Gamma nennt.  Grob\ngesagt scheint es so zu sein: Je mehr Filialen\nein Unternehmen hat, desto höher ist sein Umsatz\n.  Das bedeutet, dass wir möglicherweise anhand\nder Anzahl der Filialen eines Unternehmens dessen\nUmsatz prognostizieren können.\nDer Trend ist jedoch nicht perfekt.\nZum Beispiel hat Norms Unternehmen, das\nden größten Umsatz erzielt, weniger Filialen als\nGamas.\nDoch selbst bei einem unvollkommenen Trend\nkönnen wir den Umsatz anhand der\nAnzahl der Filialen prognostizieren, indem wir eine Gerade an die\nDatenpunkte anpassen.  Leider ist es nicht\nganz offensichtlich, wie wir eine Gerade\nan diese Datenpunkte anpassen sollen.  Zum Beispiel sieht es\ngut aus, wenn wir eine Linie ziehen,\ndie durch die Punkte für Norman\nSquatch verläuft.\nDa Norm\n12 Filialen hat, entspricht die y-Achsen-Koordinate auf der Geraden,\ndie den von der Geraden\nprognostizierten Umsatzwert darstellt, genau\nNorms Umsatz von 12,5.\nEbenso entspricht bei der Anzahl der Squatches-\nFilialen, nämlich zwei, der y-Achsen-Koordinate auf\nder Linie, der vorhergesagte Wert\ngenau dem Umsatz von Squatch, nämlich\ndrei.  Der prognostizierte\nUmsatz von Gamma weicht jedoch stark\nvom bekannten Wert ab.  Gammas\ntatsächlicher Umsatz beträgt sieben.  Aber der vorhergesagte Wert für die y-Achsen-\nKoordinate auf der Linie\nbeträgt 15,3.\nAnders ausgedrückt: Die Prognose lässt\nfür Gammas Unternehmen eine ziemlich schlechte Umsatzprognose zu\n.  Zieht man analog dazu eine Linie\ndurch die Punkte für Squatch und Gamma, so\nergeben sich Umsatzprognosen, die mit\nden beobachteten Werten für\nSquatch und Gamma identisch sind.  Bei der Norm\nist der Wert auf der y-Achse der Geraden jedoch viel, viel\nniedriger als der beobachtete Wert.\nUnd eine Gerade, die durch die Punkte\nfür Norm und Gamma verläuft, führt zu einem\nvorhergesagten Wert für Squatch, der so\nhoch ist, dass er den Bildschirm verlässt.\nAnders ausgedrückt: Verglichen mit dem tatsächlich erzielten\nUmsatz mit Squatch\nist die Vorhersage absolut miserabel.\nAlternativ könnten wir versuchen,\nLinien zwischen den Punkten zu zeichnen, aber\nes ist nicht offensichtlich, welche Linie\ndie besten Vorhersagen liefern würde.\nUm zu entscheiden, welche Linie die besten\nVorhersagen liefert, benötigen wir eine Möglichkeit,\ndie Qualität der Vorhersagen zu quantifizieren.\nEine gängige Methode, die Qualität\nder Vorhersagen einer Regressionsgeraden zu quantifizieren, ist die\nBerechnung der sogenannten Summe\nder quadrierten Residuen.\nWie der Name schon sagt, beginnen wir mit der\nBerechnung der Residuen. Das sind die\nDifferenzen zwischen den beobachteten Werten\nund den durch eine Gerade vorhergesagten Werten.\nBeispielsweise\nbeträgt der beobachtete Umsatz für Gammas Unternehmen laut dieser Linie\nsieben Einheiten, während der anhand\nder Linie prognostizierte Umsatz 11,5 beträgt.\nDer Residuenwert, die Differenz zwischen\nden beobachteten und den prognostizierten\nUmsatzwerten, beträgt also -4,5.\nDas Residuum für\nGammas Unternehmen lässt sich veranschaulichen, indem man eine vertikale\nLinie zwischen dem Datenpunkt und der\nLinie zieht.\nAnmerkung: Viele Leute fragen sich, warum das\nResiduum parallel zu den y-Achsen verläuft und\nnicht senkrecht zur\nGeraden, wie hier dargestellt.  Der Grund dafür, dass das Residuum\nparallel zur y-Achse verläuft, ist, dass dadurch\nsowohl die beobachteten als auch die prognostizierten\nUmsatzwerte dem gleichen\nWert auf der x-Achse entsprechen.\nAnders ausgedrückt: Sowohl die beobachteten als auch die\nprognostizierten Umsatzwerte beziehen sich auf\ndieselbe Anzahl von Filialen, nämlich 15.\nWir können außerdem den\nResiduenwert für Norms Unternehmen berechnen, indem wir den\nbeobachteten Umsatzwert (12,5) von\ndem prognostizierten Umsatzwert (10,5) abziehen\n. Das ergibt zwei.\nSchließlich beträgt der Restwert für Squatchs\nFirma\nboop -3.\nDenken Sie daran: Der Sinn der\nBerechnung der Residuen bestand darin, uns\neinen Eindruck von der Gesamtqualität bzw.\nGenauigkeit der\nmit der Produktlinie erstellten Umsatzprognosen zu vermitteln.\nAddiert man jedoch einfach die Residuen\n, erhält man -5,5.\nDoch wir stoßen auch auf ein Problem.\nUm dieses Problem zu veranschaulichen,\nvergleichen wir die Residuen\ndieser blauen Linie mit den Residuen\ndieser schwarzen Linie.\nZur Klarstellung: Beide Diagramme zeigen\nexakt die gleichen Datenpunkte.  Die einzigen\nUnterschiede bestehen in den blauen und schwarzen Linien\nund ihren entsprechenden Residuen.\nGenauer gesagt ist jedes einzelne Residuum für\ndie blaue Linie kleiner als die\nResiduen für die schwarze Linie.\nIntuitiv\nwürde man also annehmen, dass\ndie schwarze Linie einen schlechteren Wert haben sollte\nals die blaue, da jeder einzelne Residuenwert, der mit der schwarzen Linie verbunden ist, größer ist als der der blauen Linie.  Addiert man jedoch einfach\ndie Residuen der schwarzen Linie,\nerhält man genau die gleiche Summe an Residuen wie\nbei der blauen Linie, nämlich -5,5.\nMit anderen Worten: Obwohl die schwarze\nLinie die Daten schlechter abbildet als die blaue\nLinie, haben beide die gleiche Summe der\nResiduen.\nJosh, wie ist es möglich, dass beide Geraden\ndie gleiche Summe der Residuen aufweisen?\nDer Grund dafür, dass beide Geraden die\ngleiche Summe der Residuen aufweisen können, liegt darin, dass sich negative\nResiduen durch\npositive Residuen aufheben können.\nWeil die Addition von negativen und positiven\nResiduen dazu führen kann, dass sie sich\ngegenseitig aufheben.  Wir müssen entweder\nalle Residuen positiv oder\nnegativ machen.  Und da es\neinfacher ist, alle positiv zu gestalten, werden wir genau das\ntun.  Normalerweise verwendet man zur Umwandlung\neiner negativen Zahl in eine positive Zahl einfach\ndie Betragsfunktion.   Die\nVerwendung der\nBetragsfunktion wird die Mathematik später jedoch deutlich\nerschweren.  Anstatt also die\nAbsolutwerte der Residuen zu nehmen, um\nsie positiv zu machen, quadrieren wir sie.  Durch das Quadrieren\nder Residuen wird sichergestellt, dass alle\npositiv sind, und die spätere Berechnung\nwird einfacher.\nNun, wenn wir die quadrierten\nResiduen für die blaue Linie addieren, erhalten wir\n33,25.\nUnd wenn wir die quadrierten Residuen\nfür die schwarze Linie addieren, erhalten wir 355,125.\nUnd da die blaue Linie eine kleinere\nSumme der quadrierten Residuen aufweist, wissen wir nun,\ndass die schwarze Linie größere Residuen aufweist\nund somit die blaue Linie bessere\nVorhersagen ermöglicht als die schwarze Linie.\nDas bedeutet, dass wir die Summe der\nquadrierten Residuen, die SSR, verwenden können, um zu quantifizieren\nund zu vergleichen, wie gut verschiedene Geraden zu\nden Daten passen.  Bam.\nNachdem wir nun eine Möglichkeit haben, die\nVorhersagen zweier verschiedener Geraden zu vergleichen, wollen wir\nlernen, wie wir die Summe\nder quadrierten Residuen verwenden können, um die am besten\npassende Gerade für den ursprünglichen Datensatz zu finden.\nWir beginnen damit, die Summe der\nquadrierten Residuen für diese blaue\nLinie zu berechnen.\nZuerst berechnen wir die Residuen.\nDann quadrieren wir sie.  Dann addieren wir sie und\nerhalten 133,2.\nNun können wir diese Summe der quadrierten\nResiduen in einem Diagramm darstellen, das die Summe der\nquadrierten Residuen auf der y-Achse und\nverschiedene Werte für den y-\nAchsenabschnitt der blauen Linie auf der x-\nAchse aufweist.\nNun erhöhen wir den y-Achsenabschnitt\nder blauen Linie und tragen die Summe\nder quadrierten Residuen in unser neues Diagramm ein.\nNun können wir sehen, dass die neue blaue Linie\nmit einem größeren Wert für den y-Achsenabschnitt\neine geringere Summe der quadrierten Residuen aufweist\nals die alte.  Dieses Ergebnis ist\nermutigend, denn die geringere Summe der\nquadrierten Residuen bedeutet, dass die neue blaue\nLinie besser zu den Datenpunkten passt als\nzuvor.\nNun erhöhen wir den y-Achsenabschnitt\nder blauen Linie noch etwas und stellen\ndie Summe der quadrierten Residuen grafisch dar.\nDieser neue y-Achsenabschnittswert führt\nzu einer noch geringeren Summe der quadrierten\nResiduen als zuvor.  Und somit\nergibt dieser y-Achsenabschnittswert die\nbisher beste Anpassung der blauen Linie.  Nun\nerhöhen wir den y-Achsenabschnitt der\nblauen Linie noch etwas und stellen die\nSumme der quadrierten Residuen grafisch dar.\nNun sehen wir, dass der neue Wert für den\ny-Achsenabschnitt zu einer Erhöhung der\nSumme der quadrierten Residuen im Vergleich\nzum letzten Wert führt.  Anders ausgedrückt: Dieser\ny-Achsenabschnitt führt zu einer blauen Linie,\ndie die Daten etwas schlechter beschreibt als\nzuvor.\nNun erhöhen wir den y-Achsenabschnitt der\nblauen Linie noch einmal und stellen\ndie Summe der quadrierten Residuen grafisch dar.\nDie Summe der quadrierten Residuen ist nun sogar noch\ngrößer als zuvor.\nDas bedeutet, dass dieser y-Achsenabschnitt\nzu einer blauen Linie führt, die die\nDaten noch schlechter beschreibt als zuvor.\nWenn wir nun die Steigung nicht verändern und\ndie Summe der quadrierten Residuen\nfür alle möglichen Werte des y-\nAchsenabschnitts berechnen, dann erhalten wir eine\nKurve, die so aussieht.  In diesem\nFall wäre ein Ziel der linearen Regression,\nden y-Achsenabschnitt zu finden,\nder der niedrigsten Summe der\nquadrierten Residuen am unteren Ende dieser\nKurve entspricht.\nEine Möglichkeit, den tiefsten Punkt dieser Kurve zu finden, besteht darin,\nihre Ableitung zu berechnen und\nnach der Stelle aufzulösen, an der die Ableitung am tiefsten Punkt\nder Kurve gleich Null ist.\nAnmerkung: Ein Grund dafür, dass wir die Residuen quadrieren,\nanstatt ihren Absolutwert zu nehmen, ist,\ndass das Quadrieren die\nBerechnung der Ableitung vereinfacht.\nUnd noch ein Hinweis: Wenn Ihnen\nder Begriff der Ableitung nicht geläufig ist, machen Sie sich keine Sorgen\n.  Das Einzige, was Sie wirklich wissen müssen, ist, dass\nwir den y-Achsenabschnitt finden können, der\ndie Summe der quadrierten\nResiduen minimiert.   Die\nLösung dieser Ableitung führt\nzu einer analytischen Lösung, was\nbedeutet, dass wir am Ende eine relativ\nkompliziert aussehende Formel erhalten, in die wir\nunsere Daten einsetzen können, und das Ergebnis ist\nder optimale y-Achsenabschnitt.\nSofern Sie nicht gerade einen extrem\nanspruchsvollen Statistik-Kurs besuchen, brauchen Sie sich\ndiese Formel gar nicht erst zu merken, denn\nhöchstwahrscheinlich werden Sie sie nie\nanwenden und die Berechnung durchführen müssen.\nWichtig ist vielmehr, sich daran zu erinnern,\ndass diese Formel existiert und dass bei einer\nlinearen Regression ein Computer\ndie Daten eingibt und die Berechnung\nfür Sie durchführt.  Bam.\nBisher haben wir lediglich veranschaulicht,\nwie man den optimalen y-Achsenabschnitt\nfür die blaue Linie findet.\nAllerdings kann das gleiche Verfahren auch verwendet werden, um\ndie optimale Steigung für die blaue Linie zu finden\n.  Wir lösen nach dieser Ableitung auf\nund erhalten dadurch die Steigung, die\ndie Summe der quadrierten\nResiduen minimiert.\nUnd genau wie zuvor führt die Lösung dieser\nAbleitung zu einer analytischen\nLösung.  In diesem Fall erhalten wir eine\nFormel, die noch komplizierter aussieht\nals die letzte.  Aber nochmal: Sie brauchen sich\ndiese Formel nicht einzuprägen.\nWichtig ist, zu wissen, dass es so etwas\ngibt und dass ein Computer sich darum kümmern kann\n.  Oh nein, es ist der gefürchtete\nFachbegriffsalarm.  Die\nMethode zur Bestimmung der Geraden, die\ndie Summe der quadrierten\nResiduen minimiert, heißt Methode der kleinsten Quadrate.  Bam.\nWenn wir also die Methode der kleinsten Quadrate verwenden, um\ndie Gerade zu finden, die die Summe\nder quadrierten Residuen minimiert, erhalten wir\ndiese blaue Gerade, die an die Daten angepasst ist.  In diesem\nBeispiel ist der y-Achsenabschnitt, der\ndie Summe der quadrierten Residuen minimiert,\ndrei.  Die Steigung, die\ndie Summe der quadrierten Residuen minimiert, beträgt 0,5.\nDie blaue Linie entspricht einer Gleichung,\ndie die Anzahl der Filialen zur Umsatzprognose verwendet\n.\nErinnern Sie sich noch an den Anfang\ndieses Projekts? Damals fragte uns unser Chef, ob wir\ndrei neue Spar- und\nEinkaufsläden bauen sollten.   Nun\n, da wir diese blaue Linie\nund die dazugehörige Gleichung haben, können wir mit der\nBeantwortung dieser Frage beginnen.\nWenn wir beispielsweise bereits vier Filialen haben\nund drei weitere bauen, dann haben wir\nsieben Filialen.\nUnd wir können vorhersagen, wie viel Umsatz\nsieben Filialen generieren werden, indem wir\nsieben in unsere Gleichung einsetzen, um den\nprognostizierten Umsatz von 6,5 zu erhalten.\nMit anderen Worten: Wenn wir die\nAnzahl der Filialen auf 7 erhöhen, dann sagt uns die\nentsprechende y-Achsen-Koordinate für die\nblaue Linie, dass unser Umsatz\nauf 6,5 steigen sollte.\nUnd die Kenntnis der prognostizierten Einnahmen kann\nuns helfen zu entscheiden, ob es eine gute Idee ist,\ndrei weitere Filialen zu bauen.\nBam.  Sozusagen.  Ja, es ist toll, dass wir die\nUmsätze prognostizieren können, aber wie viel Vertrauen\nkönnen wir diesen Prognosen haben?\nMit anderen Worten: Wenn wir kein großes\nVertrauen in die prognostizierten Einnahmen haben, sollten\nwir keine wichtigen\nEntscheidungen darauf aufbauen.  Kommen wir nun dazu,\nwie wir unser Vertrauen\nin die Vorhersagen quantifizieren können.   Um\nunser Vertrauen in unsere\nVorhersagen zu quantifizieren, müssen wir zwei\nDinge quantifizieren.  Erstens die Genauigkeit der\nVorhersagen und zweitens die Wahrscheinlichkeit,\ndass der Zufall uns ähnliche\noder sogar bessere Vorhersagen liefern könnte.\nWenn wir beispielsweise wissen, dass eine\nVorhersage nicht sehr genau ist, dann können wir ihr\nnicht viel Vertrauen schenken.\nWenn uns der Zufall\nähnliche oder sogar bessere\nVorhersagen liefern kann, dann können wir auch nicht allzu\nviel Vertrauen in unsere eigenen Vorhersagen haben\n.  Lasst uns also lernen, wie man\ndiese Dinge quantifizieren kann.  Und wir beginnen damit, zu\nlernen, wie man die Genauigkeit\nder Vorhersagen quantifiziert.\nEine Möglichkeit, die\nGenauigkeit ihrer Vorhersagen einzuschätzen, besteht darin,\ndie Summe der quadrierten Residuen\num die blaue Linie mit der Summe der\nquadrierten Residuen um den mittleren\nUmsatzwert zu vergleichen.  Wenn die Summe der quadrierten\nResiduen um die blaue Linie viel\nkleiner ist als die Summe der quadrierten\nResiduen um den Mittelwert, dann haben wir\nGrund zu der Annahme, dass Vorhersagen, die\nmit der blauen Linie getroffen werden, welche die Anzahl\nder Filialen berücksichtigt,\ngenauer sein werden als Vorhersagen, die\nmit dem durchschnittlichen Umsatz getroffen werden, welcher\ndie Anzahl der Filialen ignoriert.\nMit anderen Worten können wir die\nQualität der Vorhersagen, die unter Berücksichtigung der\nAnzahl der Geschäfte getroffen wurden, quantifizieren, indem wir sie mit\nVorhersagen vergleichen, die ohne Berücksichtigung der Anzahl der\nGeschäfte getroffen wurden.  Bei der linearen Regression und vielen\nanderen Dingen können wir den\nUnterschied in den Vorhersagen mit etwas quantifizieren, das man\nR² nennt.  In diesem Beispiel\ngibt das Bestimmtheitsmaß R² an, um wie viel Prozent die\nSumme der quadrierten Residuen um den\nMittelwert abnimmt, wenn wir die blaue Linie\nzur Vorhersage verwenden.\nJosh, warum vergleichen wir die blaue Linie\nmit dem Mittelwert und nicht mit einer anderen Linie?  Der\nGrund, warum wir die blaue Linie mit dem\nMittelwert vergleichen, ist, dass der Mittelwert die Summe\nder quadrierten Residuen minimiert, wenn wir\nVorhersagen ohne die Anzahl der\nGeschäfte treffen.  Mit anderen Worten: Wenn wir eine\nandere horizontale Linie verwenden würden, um den Umsatz\nwie diese vorherzusagen, dann wäre die Summe der quadrierten\nResiduen um diese andere horizontale\nLinie größer als die Summe der\nquadrierten Residuen um den Mittelwert.\nSchließlich verwenden wir für diese Prognosen eine horizontale Linie,\nda wir\nsie erstellen, ohne die Anzahl der\nFilialen zu berücksichtigen.\nOkay,\ndie Berechnung des Bestimmtheitsmaßes R² ist überraschend\neinfach.\nWir beginnen mit der Summe der quadrierten\nResiduen um den Mittelwert und subtrahieren davon\ndie Summe der quadrierten Residuen um die\nblaue Linie.  Dann teilen wir diese\nDifferenz durch die Summe der quadrierten\nResiduen um den Mittelwert.  In diesem\nBeispiel beginnen wir mit der Berechnung der\nSumme der quadrierten Residuen um den\nMittelwert.  Und das ergibt am Ende 45,5.\nNun berechnen wir die Summe der quadrierten\nResiduen um die blaue Linie herum, und diese\nbeträgt schließlich 25,5.\nJetzt setzen wir einfach die Werte für die\nSumme der quadrierten Residuen um den Mittelwert\nund die Summe der quadrierten Residuen um\ndie blaue Linie ein und erhalten 0,44.\nDas Ergebnis 0,44 44 bedeutet, dass\ndie Summe der\nquadrierten Residuen zwischen dem Mittelwert und\nder blauen Linie um 44 % reduziert wurde.   Um\nnun ein Gefühl dafür zu bekommen, was genau eine\nReduzierung der Summe der quadrierten\nResiduen um 44 % bedeutet, berechnen wir das\nBestimmtheitsmaß R² für einige andere Datensätze.\nWenn es sich beispielsweise um diese\nDatenpunkte handelt, dann ist dies die beste\nAusgleichsgerade und dies der mittlere Umsatzwert.\nWenn Ihnen die optimale Ausgleichsgerade und der\nMittelwert ähnlich erscheinen, dann liegt das daran, dass\nsie tatsächlich identisch sind.\nBerechnen wir also das Bestimmtheitsmaß R² für den Fall, dass die\nAusgleichsgerade mit dem\nMittelwert übereinstimmt.\nUnd wir erhalten 0,0.  null.  Dieses Ergebnis\nbesagt, dass die\nSumme der quadrierten Residuen zwischen der\nblauen Linie und dem Mittelwert um 0 % abnahm.  Anders ausgedrückt:\nDie Vorhersagen der blauen Linie\nsind nicht besser als die Vorhersagen des\nMittelwerts.  Und das ist logisch,\ndenn sowohl die blaue Linie als auch der Mittelwert\nliefern die gleichen Vorhersagen.\nZu beachten ist, dass bei der linearen Regression der\nniedrigste Wert für R² null ist.\nDenn wenn die blaue Linie die\nSumme der quadrierten Residuen minimiert, kann sie\ndie Datenpunkte nicht schlechter abbilden als der Mittelwert.\nKleiner Bam.\nSchauen wir uns nun an, was passiert, wenn wir das\nBestimmtheitsmaß (R²) für diese Datenpunkte berechnen\n.  Im Gegensatz zum letzten Beispiel\npasst die Gerade jetzt perfekt zu den Datenpunkten\n.\nMit anderen Worten: Alle Residuen sind\nnull.\nUnd wenn wir Vorhersagen treffen, ohne\ndie Anzahl der Filialen zu berücksichtigen,\nerhalten wir einige Residuen, die\ngrößer als Null sind.\nNun berechnen wir R²\nund erhalten 1,0.\nDas Ergebnis zeigt, dass\ndie Summe der quadrierten\nResiduen zwischen der blauen Linie und dem\nMittelwert um 100 % reduziert wurde.  Das ist logisch, denn die\nSumme der quadrierten Residuen sank von\n23,2\nauf 0.\nWenn wir also eine Gerade haben, die die\nDaten perfekt beschreibt und die Summe der\nquadrierten Residuen um den Mittelwert\ngrößer als null ist,\ndann ist r² gleich 1,0, was bedeutet, dass\ndie Summe\nder quadrierten Residuen um 100 % reduziert wurde.\nDa\ndie Summe der quadrierten\nResiduen keinen negativen Wert annehmen kann, ist 1,0 der größtmögliche\nWert für das Bestimmtheitsmaß R².\nZusammenfassend lässt sich sagen, dass\nR² von null, wenn die beste\nAusgleichsgerade keine besseren Vorhersagen ermöglicht\nals der Mittelwert, bis zu eins geht, wenn die beste\nAusgleichsgerade perfekt zu den Daten passt,\nder Mittelwert jedoch nicht.   Kehren wir\nnun zu den ursprünglichen\nDatenpunkten zurück.  und der ursprüngliche Wert für R²,\nden wir berechnet haben: 0,44.\nDa die R2-Werte zwischen 0 und 1 liegen, wissen wir nun,\ndass 0,44 im mittleren Bereich der\nmöglichen Werte liegt.  Das bedeutet, dass die\nPrognosen, die unter Berücksichtigung der Anzahl der\nGeschäfte erstellt wurden, bei weitem nicht so schlecht sind wie\nPrognosen, die ohne Berücksichtigung der Anzahl der\nGeschäfte erstellt wurden.\nDas bedeutet aber auch, dass die Prognosen\nhinsichtlich der Anzahl der Geschäfte\nebenfalls nicht besonders gut sind und dass es noch\nviel Verbesserungspotenzial gibt.   Jetzt\nwissen wir also, wie wir das Bestimmtheitsmaß (R²) verwenden können, um\ndie Genauigkeit der Vorhersagen zu quantifizieren, die\nwir mit der blauen Linie treffen.  Doppelbamm.\nDenken Sie daran: Unser Ziel ist es, mit der blauen Linie unser\nVertrauen in die von uns getroffenen Vorhersagen zu quantifizieren\n.  Das bedeutet, dass wir\ndie Genauigkeit der Vorhersagen quantifizieren müssen\n.\nUnd genau das haben wir gerade mit R² gemacht.\nWir müssen nun also die\nWahrscheinlichkeit quantifizieren, dass\nuns der Zufall ähnliche oder sogar bessere\nVorhersagen liefern könnte.\nDenn selbst wenn unsere blaue Linie\nhervorragende Vorhersagen treffen und einen R²-\nWert nahe eins aufweisen würde, können wir ihnen nicht allzu viel Vertrauen schenken, wenn der\nZufall uns\nmindestens ebenso gute Vorhersagen liefern kann.\nNun wollen wir\nlernen, wie wir die Wahrscheinlichkeit quantifizieren können,\ndass\nuns der Zufall ähnliche oder sogar bessere\nVorhersagen liefern könnte.\nUm zu veranschaulichen, wie wir das machen,\nbeginnen wir mit einem neuen Datensatz, der nur\nzwei Punkte enthält.  Wenn wir nur zwei Datenpunkte haben\n, können wir immer eine Gerade finden, die\nperfekt zu ihnen passt.  Das bedeutet, dass\nfür je zwei zufällig ausgewählte Punkte die Summe\nder quadrierten Residuen um die blaue\nLinie gleich Null ist.\nSolange die Summe der quadrierten\nResiduen um den Mittelwert größer\nals null ist, gilt für beliebige zwei zufällige Punkte\nr² = 1.\nDas bedeutet, dass für beliebige zwei zufällige Punkte r²\ngleich 1 ist, da die Summe\nder quadrierten Residuen um die blaue\nLinie gleich null ist und somit immer\n100 % kleiner als\ndie Summe der quadrierten Residuen um\nden Mittelwert.  Mit anderen Worten, das Bestimmtheitsmaß R² gibt an,\nwie gut eine Gerade die\nVorhersagen im Vergleich zur Verwendung des Mittelwerts verbessert.\nFür sich allein ist es jedoch nicht besonders nützlich,\nda beliebige zwei zufällige Punkte\nperfekte Vorhersagen liefern können.\nBei der linearen Regression berechnen\nwir daher immer dann einen sogenannten P-Wert, wenn wir einen R²-\nWert ermitteln.\nUnter anderem gibt uns der P-Wert\neine Vorstellung davon, wie sicher\nwir uns sein können, dass die\nmit dieser blauen Linie getroffenen Vorhersagen besser sind als\nVorhersagen, die nur mit dem Mittelwert getroffen werden.\nBei der linearen Regression gibt es verschiedene\nMöglichkeiten, den p-Wert zu berechnen.  Am\nhäufigsten wird die Methode angewendet, bei der ein Computer\nZahlen in eine komplexe Gleichung einsetzt.\nUnd genau das passiert, wenn man\nselbst eine lineare Regression durchführt.   Rein\ntechnisch gesehen ist das Einsetzen von Zahlen in eine komplizierte\nGleichung nicht schwer, aber das\nhilft uns nicht dabei zu verstehen, was der p-Wert\nbedeutet.  In dieser Statistik-Übung werden wir also, anstatt\nZahlen in eine komplizierte\nGleichung einzusetzen, den p-\nWert so berechnen, dass\nseine Bedeutung leicht verständlich ist.   Stellen Sie sich\nzunächst vor, wir wählen zwei völlig\nzufällige Punkte.  Jetzt verbinden wir sie mit einer Linie\n.  Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß R²\nund fügen Sie diesen Wert einem Histogramm hinzu.\nNun wählen wir zwei weitere zufällige\nPunkte aus.   Wir\nlegen eine Ausgleichsgerade an die Kurve an, berechnen das Bestimmtheitsmaß R²\nund fügen diesen Wert unserem Histogramm hinzu.   Stellen Sie sich\nnun vor, diesen Vorgang\ntausende Male zu wiederholen, um unser\nHistogramm zu erstellen.\nBam.\nDieses Histogramm zeigt uns, welche R²-\nWerte wir erwarten können, wenn wir eine\nGerade an zwei zufällig ausgewählte Punkte anpassen.\nNun kehren wir zu den beiden ursprünglichen\nDatenpunkten zurück, die wir beobachtet haben,\nund dem R²-Wert, den wir dafür berechnet haben,\nund ermitteln, wie viel\nProzent der Werte im Histogramm\ngrößer oder gleich eins sind, um\nden p-Wert zu erhalten.  In diesem Beispiel sind 100 %\nder Werte im Histogramm größer\noder gleich 1. Daher beträgt der p-Wert für\ndas R² der\nOriginaldaten 1,0.  null.\nAnders ausgedrückt: Es besteht eine hundertprozentige Wahrscheinlichkeit,\ndass zufällige Daten zu einem R²-\nWert führen, der mindestens so groß ist wie der\nursprünglich ermittelte.  Das bedeutet, dass wir nur\nsehr wenig Vertrauen darin haben, dass Vorhersagen, die\nmit der blauen Linie getroffen werden,\nbesser sein werden als Vorhersagen, die mit dem\nMittelwert getroffen werden.  Kleiner Knaller.\nDieses Beispiel mit nur zwei Punkten\nführt zu einem ziemlich langweiligen Histogramm und\neinem offensichtlichen Ergebnis.\nInteressanter wird es jedoch, wenn wir zu unseren\nursprünglichen Daten mit drei Punkten und dem\nentsprechenden R²-Wert von 0,44 zurückkehren.\nVergleichen wir nun, genau wie zuvor, den R²-Wert, den wir\naus unseren Datenpunkten erhalten haben, mit dem Wert, den wir aus\nzufälligen Datenpunkten erhalten.  Wir beginnen mit\ndrei zufälligen Punkten und\nberechnen dann deren R²-Wert.\nDiesen Wert erfassen wir in einem Histogramm.\nNun berechnen wir das Bestimmtheitsmaß R² für\ndrei weitere zufällige Punkte und\nnotieren diesen Wert in unserem Histogramm.\nWenn wir diesen Vorgang tausende\nMale wiederholen, erhalten\nwir am Ende ein Histogramm, das so aussieht\n.\nDieses Histogramm zeigt uns, welche R²-Werte\nwir erwarten können, wenn wir eine Gerade an\ndrei zufällig ausgewählte Punkte anpassen.   Wenn wir\nnun zu den ursprünglichen Daten und\ndem ursprünglichen R²AR-Wert von 0,44 zurückkehren,\nkönnen wir den p-Wert berechnen, indem wir\nden Prozentsatz der Werte im\nHistogramm bestimmen, die größer oder\ngleich 0,44 sind.\nIn diesem Beispiel sind 53 % der Werte\nim Histogramm größer oder gleich\n0,44.\nDer p-Wert beträgt also 0,53.\nAnders ausgedrückt: Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 53 %,\ndass zufällige Daten zu einem R²-\nWert führen, der mindestens so groß ist wie der\nursprünglich ermittelte.  Das bedeutet, dass wir nicht darauf\nvertrauen können, dass\nVorhersagen, die mit der blauen Linie getroffen werden,\nbesser sind als Vorhersagen, die\nnur mit dem Mittelwert getroffen werden.   Nachdem\nwir nun wissen, dass wir\nunseren Vorhersagen nicht vertrauen können,\nwissen wir endlich, wie wir die Frage beantworten sollen, ob\nwir drei neue Spar- und\nEinkaufsläden bauen sollen.\nDie blaue Linie in der Gleichung zeigt uns,\ndass der Bau von drei neuen Filialen\nunseren Umsatz auf 6,5 steigern wird.\nDer R²-Wert von 0,44\nzeigt uns jedoch, dass die Vorhersagen anhand der blauen\nLinie nicht besonders genau sind.  Der\nentsprechende p-Wert von 0,53\nbesagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass\nzufällige Datenpunkte zu\nmindestens ebenso\ngenauen Vorhersagen führen, bei 53 % liegt.\nMit anderen Worten: Der p-Wert sagt uns, dass wir\nden\nVorhersagen, die mit der blauen Linie getroffen wurden, kein großes Vertrauen schenken können.\nWir sagen unserem Chef also, dass der\nBau von drei neuen Filialen zwar\nunseren Umsatz steigern könnte, dies aber nicht unbedingt der Fall sein muss\nund wir weitere Daten einholen sollten, bevor wir uns\nfür den Bau entscheiden.  Bam.\nJa, denn wir haben das Wesentliche der\nlinearen Regression kennengelernt, und das ist schon eine\ngroße Sache.  Dreifach-Bam.\nNun ist es Zeit für etwas schamlose\nEigenwerbung.\nWenn Sie Statistik,\nmaschinelles Lernen und KI offline wiederholen möchten, schauen Sie sich\ndie StatQuest PDF-Lernhilfen und\nmeine Bestseller-Bücher über maschinelles\nLernen, neuronale Netze und KI sowie\nStatistik auf stackquest.org an.\nHier ist für jeden etwas dabei.  Hurra!\nWir haben das Ende einer weiteren\nspannenden Stack Quest erreicht.  Wenn Ihnen diese\nStack Quest gefallen hat und Sie mehr davon sehen möchten,\nabonnieren Sie bitte unseren Kanal.  Und wenn Sie StackQuest unterstützen möchten\n, können Sie meine\nPatreon-Kampagne unterstützen, Kanalmitglied werden\n, ein oder zwei meiner\nOriginalsongs, ein T-Shirt oder einen Hoodie kaufen oder einfach\nspenden.  Die Links befinden sich in der Beschreibung\nunten.  Okay, bis zum nächsten Mal.  Die Suche geht weiter\n.",
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